數學思維方法：化零為整巧解題

來源：查字典記憶力網  發布時間： 2017-04-17

  生活中的數學無所不在，如何才能更好的訓練孩子的數學思維呢?接下來，小編跟你分享的6個數學思維方法。

  數學思維方法(1)集零為整巧解題

  我們在平時學習的知識一般都是分層次、分內容的較零散的知識形式，在解答應用題時，就會將我們學習掌握的知識逐個知識點從儲存的大腦中調出來分內使用。但是，有些題若按常規方法來解答不太容易，也比較麻煩，這時我們可以將思維方法轉換一下，把問題看作一個整體，這樣解題效果特別好。這種解決問題的的思維方法叫做集零為整法，或稱為整體思維。

  例1、有五個數的平均數是7;如把其中一個數改為9后，這五個數的平均數則為8。改動的那個數原來是多少?

  [解題思路]：

  你可能讀了題目之后，想知道五個數各是多少，這顯然是沒有必要的。這道題的解答應該從整體去考慮，改動后的五個數的總和比原來增加：

  85-75=5

  那么，什么數增加5后變為9呢?這就太簡單了，一年級的小朋友都會做。

  解：根據分析，列綜合算式為：

  9-(85-75)=4

  答：改動后的那個數是4。

  例2、設有四個數，其中每三個數之和分別為22、20、17、25，求這四個數。

  [解題思路]：

  此題按常規的解題習慣，須分別設四個未知數，然后列出四個方程，這樣就出現了很大的難度，我們小學沒學過方程組。如把四個數之和作為整體x,則可列出簡易方程求解。

  解：設四個數之和為x,則四個數為x-22、x-20、x-17、x-25，由題意可得

  (x-22)+(x-20)+(x-17)+(x-25)=x

  解得x=28

  所以，四個數依次為8、3、6、11。

  請你試用集零為整的思維方法解答下面的題：

  任意調換五位數12345的各位數上數字的位置，所得五位數中質數的個數有多少個?

  數學思維方法(2)巧在變更 豁然開朗

  某山區農民收獲了很多花椒，拿到集貿市場去賣，但銷路不好，其原因是包裝不吸引人。后來他們重新設計了一種漂亮、新穎的包裝，很快就打開了銷路。

  這個例子說明了由于變更了花椒的包裝，使得山區農民獲得了可觀的經濟效益。

  解數學題也要這樣考慮，把問題進行適當的變更來達到化難為易，化繁為簡的目的，從而達到順利解決問題的目的，這種解決問題的方法叫做變更思維法。

  例：計算：1990198.9-1989198.9

  [思路分析]

  根據積的變化規律：一個因數擴大若干倍，另一個因數縮小相同的倍數，積不變的道理，可把被減數變更成為：1991989，變更后的被減數1991989和減數1989198.8中都有相同的因數1989，可運用乘法分配律把它提取出來，由此得如下解法。

  解：1990198.9-1989198.9

  =1991989-1989198.9

  =1989(199-198.9)

  =19890.1

  =198.1

  數學思維方法(3)反面思考 快速巧妙

  如果要證明一臺電視機壞了，可以有兩種基本辦法：一種是拆開電視機，檢查零部件和線路，只要能找到一個故障，就可以斷定說它壞了;另一種辦法是接上電源，調節視頻，如果接收不到相關頻率的圖象或聲音，就斷定它壞了。后一種思路實際上就：假定電視機沒壞，那么接上電源，調整視頻就能接收到清晰的圖象和聲音;現在收不到聲音和圖象，就與假定沒壞產生矛盾，矛盾產生的根源在于假定電視機沒壞，所以這個假定不成立，應該給予否定，既電視機壞了。這種反過來想問題的思考方法叫做逆向思維，可以在數學解題中借鑒。

  例：永星小學的一次數學競賽，共有10道題，每做對一道題得8分，每做錯一道題扣5分，小華得了41分，他做對幾道題?

  [思路分析]

  這道題固然可以按常規解法，設小華做對了x道題，做錯了(10-x)道題，根據題意列出方程

  8x=41+(10-x)5

  8x=41+50-5x

  8x+5x=91

  13x=91

  x=7

  答：小華做對了7道題。

  如果用逆向思維，則可以得到如下新穎的解法：

  解：假若小華10道題都做對，那么他應得108=80(分)

  但他實際只得了41分，一共失了80-41=39(分)

  條件告訴我們，每答錯一道題不僅不給分，還要倒扣5分，即每答錯一道題就失掉5+8=13(分)，由此就能求出他答錯了3913=3(道)題。

  10-3=7(道)

  答：小華答對了7道題。

  在數學上解答題時，用反面去思考問題，思路會如柳暗花明，往往可以收到意想不到的效果。請你在學習中多運用逆向思維法解決問題。

  請你用逆向思維法解決問題：

  有這樣一個抓牌游戲：兩人輪流抓54張撲克牌，每人每次可以抓1張到4張但不可以不抓。規定抓到最后一張牌者為輸。想想，如果你先抓，怎樣才能立于不敗之地?

  列舉著眼 開辟坦途(4)

  通過對問題所有可能情形的一一列舉來獲得解答的方法，應用于數學題的解答就是根據題目的某一方面的要求全部舉出(不可遺漏)基本符合要求的數據;然后從中挑選出完全符合題目要求的答案。這種方法叫做列舉思維法。

  例、從0、1、2、3、4、5、6、7、8、9這十個數字中，選出五個不同的數字組成一個五位數，使它能被3、5、7和13整除，這個數最大是多少?

  [思路分析]

  這道題的數量關系十分復雜，而且題目所給的條件不夠充分，如果用一般的方法來分析解答，看來比較困難。我們不妨用列舉思維法來試試。

  解：要使這五個數能被3、5、7和13整除，可知這個五位數是3、5、7和13的公倍數。因為3、5、7和13的最小公倍數是(35713)=1365，這個五位數中1365的最大倍數是136573=99645，但99645中有兩個9重復，不符合題意，因而可以從99645中逐步減少1365，直到尋找出符合題意的五位數。

  99645-1365=98280(不符合題意)98280-1365=96915(不符合題意)96915-1365=95550(不符合題意)95550-1365=94185(符合題意)

  可見這個最大的五位數是94185

  請你用列舉思維法解答下題。

  *有兩個二位數，它們的差是56，它們的平方數的末二位數字相同，求此兩數。

  [思路分析]

  把所求的兩數所應滿足的條件分解如下

  數學思維方法(5)一一對應巧解題

  打上課鈴了，同學們紛紛回到自己的座位上，每個同學和他們的座位之間就是一種對應關系;又如放學了，同學都回到自己的家了，這些同學與他們各自的家也是一種對應關系。對應關系是一種常見的普遍現象，每個對應都是按照一定的規律進行的。日常生活是這樣，學習數學也不例外。有些數學題，如果按照常規方法去解答比較困難，這時我們就可以考慮把問題進行適當對應來達到化難為易的目的。從而使原問題得到順利解決，這種思維方法叫做一一對應思維。

  例、高級奶糖每千克10元，普通奶糖每千克6元，水果糖每千克2元。現將2千克高級奶糖、3千克普通奶糖、5千克水果糖混合在一起。問這種雜拌糖每千克多少元?

  [思路分析]

  這類問題實際上就是求平均數問題。由問題這種雜拌糖每千克多少元?知道，它的總數量應該總錢數，總分數應該是總千克數。由條件知道：10元與2千克、6元與3千克、2元與5千克分別相對應，由此可分別求出高級奶糖、普通奶糖、水果糖各自的錢數是：102=20(元)，63=18(元)，25=10(元)。三種糖果的總錢數是： 20+18+10=48(元)。三種糖果的總重量是2+3+5=(千克)。總錢數48元與總重量10千克相對應，由此可求出這種雜拌糖每千克的價格是：4810=4.8(元)

  解：根據以上分析得：

  (102+63+25)(2+3+5)=4.8(元)

  答：這種雜拌糖每千克4.8

  請你用一一對應思維方法來解答下面的題：

  學校籃球隊有12人合影留念，普通彩照洗2張的價格是16元，加洗一張0.8元。如果一人得一張照片，平均每人出多少錢?

  數學思維方法(6)凝聚發散 溝通縱橫

  在日常生活中存在著一種普遍現象凝聚發散 。

  例如，你往一鍋采湯里滴一些香油，一會兒就會發現鍋里有一大片油花;你往一條河里投下一塊石頭，也會出現一片浪花等等。這種現象在數學解題中有著廣泛的運用。凝聚，就是思考，找出解決問題的規律;發散，就是運用規律，指導行動，使這個規律用于解決問題，從而可發展規律的廣泛性。向縱、橫、深、廣拓展，向少、精、活探索。這樣，學會一例，就可以駕馭一類，既能提高運算速度，又能有目的地把各類知識像糖葫蘆一樣串聯起來，達到溫故而知新的目的。這種思維方法叫做凝聚發散思維。

  例、計算：32+64+128+256

  [思路分析1]

  按照從左到右的運算順序計算

  解法1、

  32+64+128+256

  =96+128+256

  =224+256

  =480

  [思路分析2]

  運用加法交換律和結合律：32和128結合，64和256結合，可以使計算簡便。

  解法2、

  32+64+128+256

  =(32+128)+(64+256)

  =160+320

  =480

  [思路分析3]

  這四個數分別是32的1倍、2倍、4倍、8倍，所以這四個數的是32的(1+2+4+8)倍，一個數乘15可以用乘10加半巧算。

  解法3、

  32+64+128+256

  =32(1+2+4+8)

  =3215...........用乘10加半巧算 3210+(320/2)

  =480