李冶(1192-1279)是中國古代數(shù)學(xué)家，字仁卿，號敬齋，真定府欒城縣(今河北省欒城縣)人，宋元數(shù)學(xué)四大家之一。
李冶生于大興(今北京市大興縣)，父親李通為大興府推官．李冶自幼聰敏，喜愛讀書，曾在元氏縣(今河北省元氏縣)求學(xué)，對數(shù)學(xué)和文學(xué)都很感興趣．《元朝名臣事略》中說："公(指李冶)幼讀書，手不釋卷，性穎悟，有成人之風(fēng)．"1230年，李冶在洛陽考中詞賦科進(jìn)士，任鈞州(今河南禹縣)知事，為官清廉、正直．1232年，鈞州城被蒙古軍隊攻破．李冶不愿投降，只好換上平民服裝，北渡黃河避難．
經(jīng)過一段時間的顛沛流離之后，李冶定居于崞山(今山西崞縣)之桐川．1234年初，金朝終于為蒙古所滅．金朝的滅亡給李冶生活帶來不幸，但由于他不再為官，這在客觀上使他的科學(xué)研究有了充分的時間．他在桐川的研究工作是多方面的，包括數(shù)學(xué)、文學(xué)、歷史、天文、哲學(xué)、醫(yī)學(xué)．其中最有價值的工作是對天元術(shù)進(jìn)行了全面總結(jié)，寫成數(shù)學(xué)史上的不朽名著--《測圓海鏡》．他的工作條件是十分艱苦的，不僅居室狹小，而且常常不得溫飽，要為衣食而奔波．但他卻以著書為樂，從不間斷自己的寫作．據(jù)《真定府志》記載，李冶"聚書環(huán)堵，人所不堪"，但卻"處之裕如也"．他的學(xué)生焦養(yǎng)直說他："雖饑寒不能自存，亦不恤也"，在"流離頓挫"中"亦未嘗一日廢其業(yè)"．經(jīng)過多年的艱苦奮斗，李冶的《測圓海鏡》終于在l248年完搞．它是我國現(xiàn)存最早的一部系統(tǒng)講述天元術(shù)的著作．
1251年，李冶的經(jīng)濟(jì)情況有所好轉(zhuǎn)，他結(jié)束了在山西的避難生活，回元氏縣封龍山定居，并收徒講學(xué)．1257年在開平(今內(nèi)蒙古正藍(lán)旗)接受忽必烈召見，提出一些進(jìn)步的政治建議．l259年在封龍山寫成另一部數(shù)學(xué)著作-一《益古演段》．1265年應(yīng)忽必烈之聘，去燕京(今北京)擔(dān)任翰林學(xué)士知制潔同修國史官職，因感到在翰林院思想不自由，第二年辭耿還鄉(xiāng)．李冶是一位多才多藝的學(xué)者，除數(shù)學(xué)外，在文史等方面也深有造詣．他晚年完成的《敬齋古今注》與《泛說》是兩部內(nèi)容豐富的著作，是他積多年筆記而成的．《泛說》一書已失傳，僅存數(shù)條于《敬齋古今注》附錄．他還著有《文集》四十卷與《壁書叢制》十二卷，已佚．1279年，李冶病逝于元氏．李冶在數(shù)學(xué)上的主要成就是總結(jié)并完善了天元術(shù)，使之成為中國獨特的半符號代數(shù)．這種半符號代數(shù)的產(chǎn)生，要比歐洲早三百年左右．他的《測圓海鏡》是天元術(shù)的代表作，而《益古演段》則是一本普及天元術(shù)的著作．
所謂天元術(shù)，就是一種用數(shù)學(xué)符號列方程的方法，"立天元一為某某"相當(dāng)于今"設(shè)x為某某"是一致的．在中國，列方程的思想可追溯到漢代的《九章算術(shù)》，書中用文字?jǐn)⑹龅姆椒ń⒘硕畏匠蹋珱]有明確的未知數(shù)概念．到唐代，王孝通已經(jīng)能列出三次方程，但仍是用文字?jǐn)⑹龅模疑形凑莆樟蟹匠痰囊话惴椒ǎ?jīng)過北宋賈憲、劉益等人的工作，求高次方程正根的問題基本解決了．隨著數(shù)學(xué)問題的日益復(fù)雜，迫切需要一種普遍的建立方程的方法，天元術(shù)便在北宋應(yīng)運而生了、洞淵、石信道等都是天元術(shù)的先驅(qū)．但直到李冶之前，天元術(shù)還是比較幼稚的，記號混亂、復(fù)雜，演算煩瑣．例如李冶在東平(今山東省東平縣)得到的一本講天元術(shù)的算書中，還不懂得用統(tǒng)一符號表示未知數(shù)的不同次冪，它"以十九字識其上下層，曰仙、明、霄、漢、壘、層、高、上、天、人、地、下、低、減、落、逝、泉、暗、鬼．"這就是說，以"人"字表示常數(shù)，人以上九字表示未知數(shù)的各正數(shù)次冪(最高為九次)，入以下九字表示未知數(shù)的各負(fù)數(shù)次冪(最低也是九次)，其運算之繁可見一斑．從稍早于《測圓海鏡》的《鈴經(jīng)》等書來看，天元術(shù)的作用還十分有限．李冶則在前人的基礎(chǔ)上，將天元術(shù)改進(jìn)成一種更簡便而實用的方法．當(dāng)時，北方出了不少算書，除《鈴經(jīng)》外，還有《照膽》、《如積釋鎖》、《復(fù)軌》等，這無疑為李冶的數(shù)學(xué)研究提供了條件．特別值得一提的是，他在桐川得到了洞淵的一部算書，內(nèi)有九客之說，專講勾股容圓問題．此書對他啟發(fā)甚大．為了能全面、深入地研究天元術(shù)，李冶把勾股容圓(即切圓)問題作為一個系統(tǒng)來研究．他討論了在各種條件下用天元術(shù)求圓徑的問題，寫成《測圓海鏡》十二卷，這是他一生中的最大成就．
《測圓海鏡》不僅保留了洞淵九容公式，即9種求直角三角形內(nèi)切圓直徑的方法，而且給出一批新的求圓徑公式．卷一的"識別雜記"闡明了圓城圖式中各勾股形邊長之間的關(guān)系以及它們與圓徑的關(guān)系，共六百余條，每條可看作一個定理(或公式)，這部分內(nèi)容是對中國古代關(guān)于勾股容圓問題的總結(jié)．后面各卷的習(xí)題，都可以在"識別雜記"的基礎(chǔ)上以天元術(shù)為工具推導(dǎo)出來．李冶總結(jié)出一套簡明實用的天元術(shù)程序，并給出化分式方程為整式方程的方法．他發(fā)明了負(fù)號和一套先進(jìn)的小數(shù)記法，采用了從零到九的完整數(shù)碼．除O以外的數(shù)碼古已有之，是籌式的反映．但籌式中遇O空位，沒有符號O．從現(xiàn)存古算書來看，李冶的《測圓海鏡》和秦九韶《數(shù)書九章》是較早使用O的兩本書，它們成書的時間相差不過一年．《測圓海鏡》重在列方程，對方程的解法涉及不多．但書中用天元術(shù)導(dǎo)出許多高次方程(最高為六次)，給出的根全部準(zhǔn)確無誤，可見李冶是掌握高次方程數(shù)值解法的．
《測圓海鏡》的成書標(biāo)志著天元術(shù)成熟，它無疑是當(dāng)時世界上第一流的數(shù)學(xué)著作．但由于內(nèi)容較深，粗知數(shù)學(xué)的人看不懂．而且當(dāng)時數(shù)學(xué)不受重視，所以天元術(shù)的傳播速度較慢．李冶清楚地看到這一點，他堅信天元術(shù)是解決數(shù)學(xué)問題的一個有力工具，同時深刻認(rèn)識到普及天元術(shù)的必要性．他在結(jié)束避難生活、回元氏縣定居以后，許多人跟他學(xué)數(shù)學(xué)，促使他寫一本深入淺出、便于教學(xué)的書， 《益古演段》便是在這種情況下寫成的．《測困海鏡》的研究對象是離生活較遠(yuǎn)而自成系統(tǒng)的圓城圖式，《益古演段》則把天元術(shù)用于解決實際問題，研究對象是日常所見的方、圓面積．李冶大概認(rèn)識到，天元術(shù)是從幾何中產(chǎn)生的．因此，為了使人們理解天元術(shù)，就需回顧它與幾何的關(guān)系，給代數(shù)以幾何解釋，而對二次方程進(jìn)行幾何解釋是最方便的，于是便選擇了以二次方程為主要內(nèi)容的《益古集》(11世紀(jì)蔣周撰)．正如《四庫全書·益古演段提要》所說："此法(指天元術(shù))雖為諸法之根，然神明變化，不可端倪，學(xué)者驟欲通之，茫無門徑之可入．惟因方圓冪積以明之，其理尤屆易見．"李冶是很樂于作這種普及工作的，他在序言中說："使粗知十百者，便得入室啖其文，顧不快哉！"
《益古演段》的價值不僅在于普及天元術(shù)，理論上也有創(chuàng)新首先，李冶善于用傳統(tǒng)的出入相補(bǔ)原理及各種等量關(guān)系來減少題目中的未知數(shù)個數(shù)，化多元問題為一元問題．其次，李冶在解方程時采用了設(shè)輔助未知數(shù)的新方法，以簡化運算．
李冶作為一個有成就的數(shù)學(xué)家，在治學(xué)態(tài)度方面，具有與古往今來的科學(xué)家所共有的精神，也有其獨特之點：
1．在極端艱苦的條件下堅持科學(xué)研究，從不間斷自己的工作。李冶處在一個動蕩不定的時代，特別是棄官隱居以后，從事科學(xué)研究的環(huán)境是十分艱苦的，常常饑寒至不能自存，但仍處之泰然，以講學(xué)著書為樂。對于數(shù)學(xué)研究，他也是下過苦功的，他在病危時對其子克修說：“測圓海鏡一書，雖九九小數(shù)，五常精思致力焉，后世必有知者”。
2．堅持科學(xué)真理，不為閑言蜚語所動搖數(shù)學(xué)研究在當(dāng)時社會是被輕視的，李冶的工作很少得到當(dāng)時學(xué)者的理解。《測圓海鏡》和《益古演段》兩書，是在他逝世后三十年才得以付印的。
3．善于接受前人知識，取其精華。有人問學(xué)于李冶，李冶回答說：“學(xué)有三：積之之多不若取之之精，取之之精不若得之之深”。這就是說，要去其糟粕，取其精華，并使它成為自己的東西．
4．反對文章的深奧化和庸俗化，主張文章是為別人，而不是為自己。李冶在《益古演段》序中說：“今之算者，未必有劉（徽）李（淳風(fēng)）之工，而編心踞見，不肯曉然示人唯務(wù)隱互錯揉故為溪滓黯哭，唯恐學(xué)者得窺其仿佛也。”他的《益古演段》就是這種主張下的著作。
李冶生于大興(今北京市大興縣)，父親李通為大興府推官．李冶自幼聰敏，喜愛讀書，曾在元氏縣(今河北省元氏縣)求學(xué)，對數(shù)學(xué)和文學(xué)都很感興趣．《元朝名臣事略》中說："公(指李冶)幼讀書，手不釋卷，性穎悟，有成人之風(fēng)．"1230年，李冶在洛陽考中詞賦科進(jìn)士，任鈞州(今河南禹縣)知事，為官清廉、正直．1232年，鈞州城被蒙古軍隊攻破．李冶不愿投降，只好換上平民服裝，北渡黃河避難．
經(jīng)過一段時間的顛沛流離之后，李冶定居于崞山(今山西崞縣)之桐川．1234年初，金朝終于為蒙古所滅．金朝的滅亡給李冶生活帶來不幸，但由于他不再為官，這在客觀上使他的科學(xué)研究有了充分的時間．他在桐川的研究工作是多方面的，包括數(shù)學(xué)、文學(xué)、歷史、天文、哲學(xué)、醫(yī)學(xué)．其中最有價值的工作是對天元術(shù)進(jìn)行了全面總結(jié)，寫成數(shù)學(xué)史上的不朽名著--《測圓海鏡》．他的工作條件是十分艱苦的，不僅居室狹小，而且常常不得溫飽，要為衣食而奔波．但他卻以著書為樂，從不間斷自己的寫作．據(jù)《真定府志》記載，李冶"聚書環(huán)堵，人所不堪"，但卻"處之裕如也"．他的學(xué)生焦養(yǎng)直說他："雖饑寒不能自存，亦不恤也"，在"流離頓挫"中"亦未嘗一日廢其業(yè)"．經(jīng)過多年的艱苦奮斗，李冶的《測圓海鏡》終于在l248年完搞．它是我國現(xiàn)存最早的一部系統(tǒng)講述天元術(shù)的著作．
1251年，李冶的經(jīng)濟(jì)情況有所好轉(zhuǎn)，他結(jié)束了在山西的避難生活，回元氏縣封龍山定居，并收徒講學(xué)．1257年在開平(今內(nèi)蒙古正藍(lán)旗)接受忽必烈召見，提出一些進(jìn)步的政治建議．l259年在封龍山寫成另一部數(shù)學(xué)著作-一《益古演段》．1265年應(yīng)忽必烈之聘，去燕京(今北京)擔(dān)任翰林學(xué)士知制潔同修國史官職，因感到在翰林院思想不自由，第二年辭耿還鄉(xiāng)．李冶是一位多才多藝的學(xué)者，除數(shù)學(xué)外，在文史等方面也深有造詣．他晚年完成的《敬齋古今注》與《泛說》是兩部內(nèi)容豐富的著作，是他積多年筆記而成的．《泛說》一書已失傳，僅存數(shù)條于《敬齋古今注》附錄．他還著有《文集》四十卷與《壁書叢制》十二卷，已佚．1279年，李冶病逝于元氏．李冶在數(shù)學(xué)上的主要成就是總結(jié)并完善了天元術(shù)，使之成為中國獨特的半符號代數(shù)．這種半符號代數(shù)的產(chǎn)生，要比歐洲早三百年左右．他的《測圓海鏡》是天元術(shù)的代表作，而《益古演段》則是一本普及天元術(shù)的著作．
所謂天元術(shù)，就是一種用數(shù)學(xué)符號列方程的方法，"立天元一為某某"相當(dāng)于今"設(shè)x為某某"是一致的．在中國，列方程的思想可追溯到漢代的《九章算術(shù)》，書中用文字?jǐn)⑹龅姆椒ń⒘硕畏匠蹋珱]有明確的未知數(shù)概念．到唐代，王孝通已經(jīng)能列出三次方程，但仍是用文字?jǐn)⑹龅模疑形凑莆樟蟹匠痰囊话惴椒ǎ?jīng)過北宋賈憲、劉益等人的工作，求高次方程正根的問題基本解決了．隨著數(shù)學(xué)問題的日益復(fù)雜，迫切需要一種普遍的建立方程的方法，天元術(shù)便在北宋應(yīng)運而生了、洞淵、石信道等都是天元術(shù)的先驅(qū)．但直到李冶之前，天元術(shù)還是比較幼稚的，記號混亂、復(fù)雜，演算煩瑣．例如李冶在東平(今山東省東平縣)得到的一本講天元術(shù)的算書中，還不懂得用統(tǒng)一符號表示未知數(shù)的不同次冪，它"以十九字識其上下層，曰仙、明、霄、漢、壘、層、高、上、天、人、地、下、低、減、落、逝、泉、暗、鬼．"這就是說，以"人"字表示常數(shù)，人以上九字表示未知數(shù)的各正數(shù)次冪(最高為九次)，入以下九字表示未知數(shù)的各負(fù)數(shù)次冪(最低也是九次)，其運算之繁可見一斑．從稍早于《測圓海鏡》的《鈴經(jīng)》等書來看，天元術(shù)的作用還十分有限．李冶則在前人的基礎(chǔ)上，將天元術(shù)改進(jìn)成一種更簡便而實用的方法．當(dāng)時，北方出了不少算書，除《鈴經(jīng)》外，還有《照膽》、《如積釋鎖》、《復(fù)軌》等，這無疑為李冶的數(shù)學(xué)研究提供了條件．特別值得一提的是，他在桐川得到了洞淵的一部算書，內(nèi)有九客之說，專講勾股容圓問題．此書對他啟發(fā)甚大．為了能全面、深入地研究天元術(shù)，李冶把勾股容圓(即切圓)問題作為一個系統(tǒng)來研究．他討論了在各種條件下用天元術(shù)求圓徑的問題，寫成《測圓海鏡》十二卷，這是他一生中的最大成就．
《測圓海鏡》不僅保留了洞淵九容公式，即9種求直角三角形內(nèi)切圓直徑的方法，而且給出一批新的求圓徑公式．卷一的"識別雜記"闡明了圓城圖式中各勾股形邊長之間的關(guān)系以及它們與圓徑的關(guān)系，共六百余條，每條可看作一個定理(或公式)，這部分內(nèi)容是對中國古代關(guān)于勾股容圓問題的總結(jié)．后面各卷的習(xí)題，都可以在"識別雜記"的基礎(chǔ)上以天元術(shù)為工具推導(dǎo)出來．李冶總結(jié)出一套簡明實用的天元術(shù)程序，并給出化分式方程為整式方程的方法．他發(fā)明了負(fù)號和一套先進(jìn)的小數(shù)記法，采用了從零到九的完整數(shù)碼．除O以外的數(shù)碼古已有之，是籌式的反映．但籌式中遇O空位，沒有符號O．從現(xiàn)存古算書來看，李冶的《測圓海鏡》和秦九韶《數(shù)書九章》是較早使用O的兩本書，它們成書的時間相差不過一年．《測圓海鏡》重在列方程，對方程的解法涉及不多．但書中用天元術(shù)導(dǎo)出許多高次方程(最高為六次)，給出的根全部準(zhǔn)確無誤，可見李冶是掌握高次方程數(shù)值解法的．
《測圓海鏡》的成書標(biāo)志著天元術(shù)成熟，它無疑是當(dāng)時世界上第一流的數(shù)學(xué)著作．但由于內(nèi)容較深，粗知數(shù)學(xué)的人看不懂．而且當(dāng)時數(shù)學(xué)不受重視，所以天元術(shù)的傳播速度較慢．李冶清楚地看到這一點，他堅信天元術(shù)是解決數(shù)學(xué)問題的一個有力工具，同時深刻認(rèn)識到普及天元術(shù)的必要性．他在結(jié)束避難生活、回元氏縣定居以后，許多人跟他學(xué)數(shù)學(xué)，促使他寫一本深入淺出、便于教學(xué)的書， 《益古演段》便是在這種情況下寫成的．《測困海鏡》的研究對象是離生活較遠(yuǎn)而自成系統(tǒng)的圓城圖式，《益古演段》則把天元術(shù)用于解決實際問題，研究對象是日常所見的方、圓面積．李冶大概認(rèn)識到，天元術(shù)是從幾何中產(chǎn)生的．因此，為了使人們理解天元術(shù)，就需回顧它與幾何的關(guān)系，給代數(shù)以幾何解釋，而對二次方程進(jìn)行幾何解釋是最方便的，于是便選擇了以二次方程為主要內(nèi)容的《益古集》(11世紀(jì)蔣周撰)．正如《四庫全書·益古演段提要》所說："此法(指天元術(shù))雖為諸法之根，然神明變化，不可端倪，學(xué)者驟欲通之，茫無門徑之可入．惟因方圓冪積以明之，其理尤屆易見．"李冶是很樂于作這種普及工作的，他在序言中說："使粗知十百者，便得入室啖其文，顧不快哉！"
《益古演段》的價值不僅在于普及天元術(shù)，理論上也有創(chuàng)新首先，李冶善于用傳統(tǒng)的出入相補(bǔ)原理及各種等量關(guān)系來減少題目中的未知數(shù)個數(shù)，化多元問題為一元問題．其次，李冶在解方程時采用了設(shè)輔助未知數(shù)的新方法，以簡化運算．
李冶作為一個有成就的數(shù)學(xué)家，在治學(xué)態(tài)度方面，具有與古往今來的科學(xué)家所共有的精神，也有其獨特之點：
1．在極端艱苦的條件下堅持科學(xué)研究，從不間斷自己的工作。李冶處在一個動蕩不定的時代，特別是棄官隱居以后，從事科學(xué)研究的環(huán)境是十分艱苦的，常常饑寒至不能自存，但仍處之泰然，以講學(xué)著書為樂。對于數(shù)學(xué)研究，他也是下過苦功的，他在病危時對其子克修說：“測圓海鏡一書，雖九九小數(shù)，五常精思致力焉，后世必有知者”。
2．堅持科學(xué)真理，不為閑言蜚語所動搖數(shù)學(xué)研究在當(dāng)時社會是被輕視的，李冶的工作很少得到當(dāng)時學(xué)者的理解。《測圓海鏡》和《益古演段》兩書，是在他逝世后三十年才得以付印的。
3．善于接受前人知識，取其精華。有人問學(xué)于李冶，李冶回答說：“學(xué)有三：積之之多不若取之之精，取之之精不若得之之深”。這就是說，要去其糟粕，取其精華，并使它成為自己的東西．
4．反對文章的深奧化和庸俗化，主張文章是為別人，而不是為自己。李冶在《益古演段》序中說：“今之算者，未必有劉（徽）李（淳風(fēng)）之工，而編心踞見，不肯曉然示人唯務(wù)隱互錯揉故為溪滓黯哭，唯恐學(xué)者得窺其仿佛也。”他的《益古演段》就是這種主張下的著作。
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